Question

已知函数f（x）=3

4-x

+4

x-3

，则函数f（x）的最大值为（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、不存在

Answer 1

分析：先求函数的定义域，然后利用三角还原法转化为三角函数，利用三角函数的性质即可求函数的最大值．

解答：解：要使函数有意义，则

4-x≥0 x-3≥0

，即3≤x≤4，
则0≤x-3≤1，0≤4-x≤1，且4-x+x-3=1，
∴可设4-x=sin²θ，则cos²θ=x-3，0≤θ≤90°
则F（x）=3sina+4cosa=5sin（a+b）
则函数f（x）等价为y=3sinθ+4cosθ=5（

3

5

sinθ+

4

5

cosθ），
令cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，
则y=3sinθ+4cosθ=5（

3

5

sinθ+

4

5

cosθ）=5（sinθcosα+cosθsinα）=5sin（θ+α），
∴当θ+α=90°时，函数取的最大值5，
故选：C．

点评：本题主要考查函数最值的求法，根据函数式子的特点，利用三角换元法是解决本题的关键，要求熟练掌握辅助角公式的应用，综合性较强，难度较大．