Question

9．若过点（0，2）的直线与抛物线y²=8x有且只有一个公共点，则这样的直线有（　　）

• A． 一条
• B． 两条
• C． 三条
• D． 四条

Answer 1

分析 当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0；当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=2；当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，把y=kx+2，代入抛物线方程，由判别式等于0，求得k的值，从而得到结论．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点为（2，0），
当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，即直线为y轴时，与抛物线y²=8x只有一个公共点．
当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=2，与抛物线y²=8x只有一个公共点．
当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，那么直线方程为：y+2=kx，即：y=kx+2，
代入抛物线方程，可得 k²x²+（4k-8）x+4=0，由判别式等于0 可得：64-64k=0，
∴k=1，此时，直线的方程为y=x+2．
综上，满足条件的直线共有3条，
故选：C．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，体现了分类讨论的数学思想，求出直线的斜率，是解题的关键．