Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=2．
（1）若点E、F分别在棱PB、AD上，且

PE

=4

EB

，

DF

=4

FA

，求证：EF⊥平面PBC；
（2）若点G在线段PA上，且三棱锥G-PBC的体积为

1

4

，试求线段PG的长．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出向量EF和向量BC及PB，利用数量积即可证明EF⊥平面PBC；
（2）求出平面的法向量，利用共线向量求出点到平面的距离的表达式，由三棱锥G-PBC的体积为

1

4

，求线段PG的长．

解答：解：（1）以点D为坐标原点，DA为x轴正方向，
DC为y轴正方向建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2），
因为

PE

=4

EB

，

DF

=4

FA

，
所以F(

4

5

，0，0)，E(

4

5

， 

4

5

， 

2

5

)，
则

EF

=(0，-

4

5

，-

2

5

)，

BC

=(-1，0，0)，

PB

=(-1，-1，2)．

EF

•

BC

=0，

EF

•

PB

=0，
即EF垂直于平面PBC中两条相交直线，所以EF⊥平面PBC．
法二（1）

PA

=(1，0，-2)，可设

PG

=λ

PA

(0≤λ≤1)，
所以向量

PG

的坐标为（λ，0，-2λ），
平面PBC的法向量为

EF

=(0，-

4

5

，-

2

5

)．

EF

•

BC

=0  ， 

EF

•

PB

=0，
即EF垂直于平面PBC中两条相交直线，所以EF⊥平面PBC．
（2）

PA

=(1，0，-2)，可设

PG

=λ

PA

(0≤λ≤1)，
所以向量

PG

的坐标为（λ，0，-2λ），
平面PBC的法向量为

EF

=(0，-

4

5

，-

2

5

)．
点G到平面PCE的距离d=

| PG • EF |

| EF |

=

4 5 λ

2 5 5

=

2λ

5

．
△PBC中，BC=1，PB=

5

，PB=

6

，
所以S△PBC=

5

2

．
三棱锥G-PBC的体积V=

1

3

S△PBC• d=

1

3

•

5

2

•

2λ

5

=

λ

3

=

1

4

，
∴λ =

3

4

．
此时向量

PG

的坐标为(

3

4

，0，-

3

2

)，|

PG

| =

3 5

4

，
即线段PG的长为

3 5

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．