Question

7．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=2，$∠ABC=\frac{π}{2}$，E，F分别为棱AB，AC的中点，则直线A₁E和C₁F的夹角余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{30}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{30}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{6}$
• D． $\frac{{2\sqrt{30}}}{15}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A₁（2，0，0），E（1，0，2），C₁（0，2，0），F（1，1，2），
则$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（1，-1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=-1+0+4=3，
$cos＜\overrightarrow{{A}_{1}E}，\overrightarrow{{C}_{1}F}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{{C}_{1}F}}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}||\overrightarrow{{C}_{1}F}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴直线A₁E和C₁F的夹角余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．