Question

18．如图，四边形ABCD中，△ABD是正三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，沿AB将△ABD折起，使得平面ABD⊥平面ABC，若三棱锥D-ABC的外接球的表面积为$\frac{28π}{3}$，则三棱锥D-ABC的侧面ACD的面积为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由题意，三棱锥D-ABC的外接球的半径为$\sqrt{\frac{7}{3}}$，再求出AB，即可求出三棱锥D-ABC的侧面ACD的面积

解答 解：由题意，三棱锥D-ABC的外接球的半径为$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
设AB=4a，球心到平面ABC的距离为h，则由勾股定理可得$\frac{7}{3}$=h²+8a²=$4{a}^{2}+（2\sqrt{3}a-h）^{2}$，∴a=$\frac{1}{2}$．
△ACD中，AD=4a，AC=DC=4$\sqrt{2}a$，∴三棱锥D-ABC的侧面ACD的面积为$\frac{1}{2}•4a•\sqrt{32{a}^{2}-4{a}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
故答案为$\sqrt{7}$．

点评 本题考查三棱锥D-ABC的外接球的表面积，考查勾股定理的运用，属于中档题．