Question

3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线$\sqrt{3}x+y-4=0$平行，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），由双曲线C的一条渐近线与直线$\sqrt{3}x+y-4=0$平行，得到$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，由此能求出双曲线C的离心率．

解答 解：∵双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，
∴设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），
∵双曲线C的一条渐近线与直线$\sqrt{3}x+y-4=0$平行，
∴$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$b，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2b，
∴双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{\sqrt{3}b}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．