Question

14．设函数f（x）=|x+$\frac{8}{m}$|+|x-2m|（m＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；
（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥8恒成立．
（Ⅱ）当m＞$\frac{1}{2}$时，不等式即 $\frac{8}{m}$+2m＞10，即m²-5m+4＞0，求得m的范围．当0＜m≤$\frac{1}{2}$时，f（1）=1+$\frac{8}{m}$+（1-2m）=2+$\frac{8}{m}$-2m关于变量m单调递减，求得f（1）的最小值为17，可得不等式f（1）＞10恒成立．综合可得m的范围．

解答 （Ⅰ）证明：函数f（x）=|x+$\frac{8}{m}$|+|x-2m|（m＞0），
∴f（x）=|x+$\frac{8}{m}$|+|x-2m|≥|x+$\frac{8}{m}$-（x-2m）|=|$\frac{8}{m}$+2m|=$\frac{8}{m}$+2m≥2$\sqrt{\frac{8}{m}•2m}$=8，
当且仅当m=2时，取等号，故f（x）≥8恒成立．
（Ⅱ）f（1）=|1+$\frac{8}{m}$|+|1-2m|，当m＞$\frac{1}{2}$时，f（1）=1+$\frac{8}{m}$-（1-2m），不等式即 $\frac{8}{m}$+2m＞10，
化简为m²-5m+4＞0，求得m＜1，或m＞4，故此时m的范围为（$\frac{1}{2}$，1）∪（4，+∞）．
当0＜m≤$\frac{1}{2}$时，f（1）=1+$\frac{8}{m}$+（1-2m）=2+$\frac{8}{m}$-2m关于变量m单调递减，
故当m=$\frac{1}{2}$时，f（1）取得最小值为17，
故不等式f（1）＞10恒成立．
综上可得，m的范围为（0，1）∪（4，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，注意分类讨论，属于中档题．