Question

2．已知α、β∈（0，π），且tanα、tanβ是方程x²-5x+6=0的两根，试求：
（1）α+β的值；
（2）tan2（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由韦达定理可得 tanα+tanβ 和tanαtanβ，利用两角和的正切公式求出tan（α+β）的值，由α+β 的范围求出α+β 的值．
（2）由α+β 的值，可求2（α+β）的值，利用正切函数的图象可求tan2（α+β）的值．

解答 解：（1）由韦达定理可得  tanα+tanβ=5，tanαtanβ=6，
故有 tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-1，
又tanα＞0，tanβ＞0，且α，β∈（0，π），
∴α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β∈（0，π），
∴α+β=$\frac{3π}{4}$．
（2）∵α+β=$\frac{3π}{4}$．
∴2（α+β）=$\frac{3π}{2}$，
∴tan2（α+β）的值不存在．

点评 本题考查两角和的正切公式，正切函数的图象，根据三角函数的值求角，求出α+β=$\frac{3π}{4}$，是解题的关键，属于基础题．