Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinA=acosB，b=$\sqrt{5}$．
（1）若c=2，求sinC；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求2sinB=$\sqrt{5}$cosB，利用同角三角函数基本关系式可求tanB，进而可求sinB，由正弦定理即可求得sinC的值．
（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理，基本不等式可求ac≤$\frac{15}{2}$，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵2sinA=acosB，$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}$，b=$\sqrt{5}$，
∴2sinB=$\sqrt{5}$cosB，
即tanB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵c=2，
∴sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）得cosB=$\frac{2}{3}$，
∴5=a²+c²-$\frac{4}{3}$ac≥2ac-$\frac{4}{3}$ac=$\frac{2}{3}$ac，
即有ac≤$\frac{15}{2}$，
可得：△ABC面积的最大值为：$\frac{1}{2}×\frac{15}{2}×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．