Question

20．已知函数f（x）=e^x，g（x）=kx+1，且直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x），若不等式（m-x）h′（x）＜x+1对任意x∈（0，+∞）恒成立（m∈Z，h′（x）为h（x）的导函数），求m的最大值..

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出切点坐标，根据函数的单调性求出k的值即可；
（Ⅱ）由x＞0，e^x-1＞0，问题转化为m＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，令φ（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，根据函数的单调性求出φ（x）的最小值，从而求出m的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e^t），由f（x）=e^x得f′（x）=e^x，
∴切线方程为y-e^t=e^t（x-t），即y=e^tx+（1-t）e^t，
由已知y=e^tx+（1-t）e^t和y=kx+1为同一条直线，
∴e^t=k，（1-t）e^t=1，
令r（x）=（1-t）e^x，则r′（x）=-xe^x，
当x∈（-∞，0）时，r′（x）＞0，r（x）单调递增，
当x∈（0，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单调递减，
∴r（x）≤r（0）=1，
当且仅当x=0时等号成立，∴t=0，k=1，
（Ⅱ）由于k=1，∴（m-x）h′（x）＜x+1?（m-x）（e^x-1）＜x+1，
∵x＞0，∴e^x-1＞0，∴m＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，
令φ（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，∴m＜φ（x）_min，φ′（x）=$\frac{{e}^{x}{（e}^{x}-x-2）}{{{（e}^{x}-1）}^{2}}$，
令t（x）=e^x-x-2，∵x＞0，∴t′（x）=e^x-1＞0，
∴t（x）在（0，+∞）单调递增，且t（1）＜0，t（2）＞0，
∴t（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x₀，且x₀∈（1，2），
当x∈（0，x₀）时，φ′（x）＜0，当x∈（x₀，+∞）时，φ′（x）＞0，
∴φ（x）min=φ（x₀）=$\frac{{x}_{0}+1}{{e}^{{x}_{0}}-1}$+x₀，
由t（x₀）=0，∴${e}^{{x}_{0}}$=x₀+2，
∴φ（x₀）=x₀+1∈（2，3），
又∵m＜φ（x₀），m∈Z，
∴m的最大值为2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．