Question

4．已知△ABC中，BC=1，AB=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{6}$，点P是△ABC的外接圆上的一个动点，则$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$的最大值是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 如图所示$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{BP}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos∠PBC=|$\overrightarrow{BP}$|cos∠PBC．设OP⊙O的半径，则当OP∥BC且同向时，则$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$的取得最大值．再利用正弦定理和余弦定理即可得出、垂径定理即可得出

解答 解：如图所示，$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{BP}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos∠PBC=|$\overrightarrow{BP}$|cos∠PBC．
设OP为⊙O的半径，则当OP∥BC且同向时，向量$\overrightarrow{BP}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影最大，则$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$取得最大值．
由余弦定理可得：cosA=$\frac{3+6-1}{2×\sqrt{3}×\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴sinA=$\frac{1}{3}$．
∴2R=$\frac{BC}{sinA}$=3．
∴|$\overrightarrow{BP}$|cos∠PBC=|BD|=$\frac{1}{2}$|BC|+R=2．
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$取得最大值为2．
故选：A

点评 本题考查了向量的数量积运算、向量的投影、正弦定理和余弦定理、垂径定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．