Question

13．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₃，a₅，a₁₅成等比数列，若a₁=3，S_n为数列a_n的前n项和，则a_n•S_n的最小值为（　　）

• A． 0
• B． -3
• C． -20
• D． 9

Answer 1

分析 由等差数列{a_n}的通项公式及等比数列性质列出方程，求出d=-2或d=0，由此能求出a_n•S_n的最小值．

解答 解：∵等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₃，a₅，a₁₅成等比数列，a₁=3，
∴（3+4d）²=（3+2d）（3+14d），
解得d=-2或d=0，
当d=0时，a_n=3，S_n=3n，a_nS_n=9n，
当n=1时，a_n•S_n取最小值9；
当d=-2时，a_n=3+（n-1）（-2）=5-2n，
S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=4n-n²，
a_n•S_n=（5-2n）（4n-n²）=2n³-13n²+20n，
设f（n）=2n³-13n²+20n，则f′（n）=6n²-26n+20=6（n-$\frac{13}{6}$）²-$\frac{49}{6}$，
∴当n=3时，a_n•S_n取最小值：2×27-13×9+20×3=-3．
综上，a_n•S_n取最小值为-3．
故选：B．

点评 本题考查等差数列的第n项与前n项和的积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．