Question

3．设函数f（x）=e^2x，g（x）=kx+1（k∈R）．
（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；
（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）-g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设切线的坐标为（t，e^2t），得到（1-2t）e^2t=1，令h（x）=（1-x）e^x，根据函数的单调性求出k的值即可；
（Ⅱ）通过讨论k的范围，结合对任意x∈（0，m），都有|f（x）-g（x）|＞2x恒成立以及函数的单调性求出对应的函数的单调区间，求出k的具体范围即可．

解答 解：（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e^2t），由f（x）=e^2x得f′（x）=2e^2x，
∴切线方程为y-e^2t=2e^2t（x-t），即y=2e^2tx+（1-2t）e^2t，
由已知y=2e^2tx+（1-2t）e^2t和y=kx+1为同一条直线，
∴2e^2t=k，（1-2t）e^2t=1，
令h（x）=（1-x）e^x，则h′（x）=-xe^x，
当x∈（-∞，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（x）≤h（0）=1，
当且仅当x=0时等号成立，
∴t=0，k=2，
（Ⅱ）①当k＞2时，由（Ⅰ）知：
存在x＞0，使得对于任意x∈（0，x₀），都有f（x）＜g（x），
则不等式|f（x）-g（x）|＞2x等价于g（x）-f（x）＞2x，
即（k-2）x+1-e^2x＞0，
设t（x）=（k-2）x+1-e^2x，t′（x）=k-2-2e^2x，
由t′（x）＞0，得：x＜$\frac{1}{2}$ln$\frac{k-2}{2}$，由t′（x）＜0，得：x＞$\frac{1}{2}$ln$\frac{k-2}{2}$，
若2＜k≤4，$\frac{1}{2}$ln$\frac{k-2}{2}$≤0，∵（0，x₀）⊆（$\frac{1}{2}$ln$\frac{k-2}{2}$，+∞），
∴t（x）在（0，x₀）上单调递减，注意到t（0）=0，
∴对任意x∈（0，x₀），t（x）＜0，与题设不符，
若k＞4，$\frac{1}{2}$ln$\frac{k-2}{2}$＞0，（0，$\frac{1}{2}$ln$\frac{k-2}{2}$）⊆（-∞，$\frac{1}{2}$ln$\frac{k-2}{2}$），
∴t（x）在（0，$\frac{1}{2}$ln$\frac{k-2}{2}$）上单调递增，
∵t（0）=0，∴对任意x∈（0，$\frac{1}{2}$ln$\frac{k-2}{2}$），t（x）＞0，符合题意，
此时取0＜m≤min{x₀，$\frac{1}{2}$ln$\frac{k-2}{2}$}，可得对任意x∈（0，m），都有|f（x）-g（x）|＞2x，
②当0＜k≤2时，由（Ⅰ）知e^2x-（2x+1）≥0，（x＞0），
f（x）-g（x）=e^2x-（2x+1）+（2-k）x≥（2-k）x≥0对任意x＞0都成立，
∴|f（x）-g（x）|＞2x等价于e^2x-（k+2）x-1＞0，
设φ（x）=e^2x-（k+2）x-1，则φ′（x）=2e^2x-（k+2），
由φ′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{2}$ln$\frac{k+2}{2}$＞0，φ′（x）＜0得x＜$\frac{1}{2}$ln$\frac{k+2}{2}$，
∴φ（x）在（0，$\frac{1}{2}$ln$\frac{k+2}{2}$）上单调递减，注意到φ（0）=0，
∴对任意x∈（0，$\frac{1}{2}$ln$\frac{k+2}{2}$），φ（x）＜0，不符合题设，
综上所述，k的取值范围为（4，+∞）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想、是一道综合题．