Question

20．设函数f（x）=|x+4|．
（1）若y=f（2x+a）+f（2x-a）最小值为4，求a的值；
（2）求不等式f（x）＞1-$\frac{1}{2}$x的解集．

Answer 1

分析 （1）求出y的解析式，利用绝对值不等式即可求解a的值．
（2）函数含有绝对值，即可考虑到分类讨论去掉绝对值号，分别讨论当x=-4时，当x＞-4时，当x＜-4的情况，可得不同解析式求解不等式即可．

解答 解：（1）由题意，函数f（x）=|x+4|．
那么y=f（2x+a）+f（2x-a）=|2x+a+4|+|2x-a+4|≥|2x+a-4-（2x-a+4）|=|2a|
∵最小值为4，即|2a|=3，
∴a=$±\frac{3}{2}$
（2）函数f（x）=|x+4|=$\left\{\begin{array}{l}{x+4，（x＞-4）}\\{0，（x=-4）}\\{-4-x，（x＜-4）}\end{array}\right.$
∴不等式f（x）＞1-$\frac{1}{2}$x等价于$\left\{\begin{array}{l}{x+4＞1-\frac{1}{2}x，（x＞-4）}\\{-4-x＞1-\frac{1}{2}x，（x＜-4）}\end{array}\right.$，解得：x＞-2或x＜-10
故得不等式f（x）＞1-$\frac{1}{2}$x的解集为{x|x＞-2或x＜-10}．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题