Question

15．已知平面内三个单位向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=60°，若$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，则m+n的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 将$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$两边平方后整理得（m+n）²-1=mn，再由基本不等式可得x+y的最大值．

解答 解：由已知条件$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，
两边平方可得1=m²+mn+n²=（m+n）²-mn，
∴（m+n）²-1=mn，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m，n＞0，
∴（m+n）²-1=mn≤$\frac{1}{4}$（m+n）²，
∴$\frac{3}{4}（m+n）^{2}≤1$，则m+n≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即m+n的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查的知识点是平面向量的基本定理，基本不等式，其中根据已知分析出（m+n）²-1=mn是解答的关键，属中档题．