Question

4．已知变量x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{1≤x+y≤3}\\{-1≤x-y≤1}\end{array}}\right.$，若目标函数z=2x+y取到最大值a，则（x+$\frac{1}{x}$-2）^a的展开式中x²的系数为（　　）

• A． -144
• B． -120
• C． -80
• D． -60

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用线性规划的知识先求出a=5，然后利用二项式定理的内容进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（2，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5．
即目标函数z=2x+y的最大值为a=5，
（x+$\frac{1}{x}$-2）^a=（x+$\frac{1}{x}$-2）⁵，
∵x²=x•x•1×1×1=x•x•x•$\frac{1}{x}$×1，
∴（x+$\frac{1}{x}$-2）⁵的展开式中x²的系数为${C}_{5}^{2}$•（-2）³+${C}_{5}^{3}$•${C}_{2}^{1}$•（-2）=-80-40=-120，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划和二项式定理的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．综合性较强，有一定的难度．