Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（a，-1），$\overrightarrow{n}$=（b-1，1），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，若b＞0，则$\frac{1}{|a|}$+$\frac{4|a|}{b}$的最小值是（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据题意，由于$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，结合向量平行的坐标表示可得a+b=1，由a、b的范围，将$\frac{1}{|a|}$+$\frac{4|a|}{b}$可以变形可得$\frac{1}{|a|}$+$\frac{4|a|}{b}$=1+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$，由基本不等式的性质分析可得答案．

解答 解：根据题意，向量$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，且$\overrightarrow{m}$=（a，-1），$\overrightarrow{n}$=（b-1，1），
则有a×1=（-1）×（b-1），即a+b=1，
若a＞0，则$\frac{1}{|a|}$+$\frac{4|a|}{b}$=$\frac{a+b}{|a|}$+$\frac{4|a|}{b}$=$\frac{a}{|a|}$+$\frac{b}{|a|}$+$\frac{4|a|}{b}$=$\frac{a}{|a|}$+$\frac{b}{|a|}$+$\frac{4|a|}{b}$=1+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥3，
当a＜0，则$\frac{1}{|a|}$=$\frac{a}{|a|}$+$\frac{b}{|a|}$+$\frac{4|a|}{b}$=-1+（$\frac{b}{（-a）}$+$\frac{4（-a）}{b}$）≥1，
综合可得：则$\frac{1}{|a|}$+$\frac{4|a|}{b}$的最小值是1；
故选：B．

点评 本题考查平面向量平行的坐标表示以及基本不等式的运用，关键是求出a、b的关系．