Question

2．设等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₅=15，且2a₂，a₆，a₈+1成公比大于1的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的首项与公差通过数列的和求出a₃，利用2a₂，a₆，a₈+1成公比大于1的等比数列，求出公差，然后求解数列的通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，S₅=15，所以a₃=3，2a₂，a₆，a₈+1成公比大于1的等比数列，
所以a₆²=2a₂（a₈+1），即：（a₃+3d）²=2（a₃-d）（a₃+5d+1），所以d=1或d=$-\frac{15}{19}$（舍去），
所以a₁=a₃-2d=3-2=1．
所以a_n=n，
数列{a_n}的通项公式为：a_n=n；
（2）由（1）可知：设${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ…①；
①×2可得：$\frac{1}{2}$T_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+2×（$\frac{1}{2}$）³+3×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹…②，
①-②得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹．
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列求和，数列通项公式的应用，考查计算能力．