Question

12．如图，已知F为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．
（1）求证：$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$为定值；
（2）若直线CD交直线l：x=-$\frac{3}{2}$于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{7}{12}$，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}$=$\frac{7}{12}$．
（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BP}$，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2k}$），则$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{3}{2}-{x}_{2}$，$\frac{1}{2k}-{y}_{2}$），推导出$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=\frac{9}{4}}\\{{k}^{2}=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．

解答 证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，
$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{2a}+\frac{1}{\frac{2{b}^{2}}{a}}$=$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$，…（2分）
当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=k（x+1），
则直线CD：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），
将直线直线AB 与椭圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，…（5分）
同理：CD=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+4}$，…（6分）
∴$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}$=$\frac{3+4{k}^{2}}{12（{k}^{2}+1）}+\frac{3{k}^{2}+4}{12（{k}^{2}+1）}$=$\frac{7（{k}^{2}+1）}{12（{k}^{2}+1）}$=$\frac{7}{12}$．
综上：$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}$=$\frac{7}{12}$．故$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$为定值$\frac{7}{12}$．…（8分）
（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BP}$，此时直线AB、CD都不平行于x轴．
由（1），得P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2k}$），则$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{3}{2}-{x}_{2}$，$\frac{1}{2k}-{y}_{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{3}{2}-{x}_{2}}\\{{y}_{1}=\frac{1}{2k}-{y}_{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{3}{2}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{1}{2k}}\end{array}\right.$，…（12分）
又x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，则y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=k（x₁+x₂+2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}=-\frac{3}{2}}\\{k（\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+2）=\frac{1}{2k}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=\frac{9}{4}}\\{{k}^{2}=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$，无解…（14分）
∴四边形OAPB不可能是平行四边形…（15分）

点评 本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用．