Question

2．设P（n，m）=${{\sum_{k=0}^{n}（-1）}^{k}C}_{n}^{k}\frac{m}{m+k}$，Q（n，m）=${C}_{n+m}^{m}$，其中m，n∈N^*
（1）当m=1时，求P（n，1），Q（n，1）的值；
（2）对?m∈N^*，证明：P（n，m）•Q（n，m）恒为定值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出m=1时P（n，1）、Q（n，1）的值，再计算P（n，1）•Q（n，1）；
（2）根据组合数公式推导出P（n，m）=$\frac{n}{m+n}$P（n-1，m），由累乘运算得出P（n，m）=$\frac{n!•m!}{（n+m）!}$P（0，m）=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}$，从而得出P（n，m）•Q（n，m）=1为定值．

解答 解：（1）∵P（n，m）=${{\sum_{k=0}^{n}（-1）}^{k}C}_{n}^{k}\frac{m}{m+k}$，Q（n，m）=${C}_{n+m}^{m}$，其中m，n∈N^*；
当m=1时，P（n，1）=$\sum_{k=0}^{n}$（-1）^k•${C}_{n}^{k}$$\frac{1}{1+k}$
=${C}_{n}^{0}$-${C}_{n}^{1}$•$\frac{1}{2}$+${C}_{n}^{2}$•$\frac{1}{3}$-${C}_{n}^{3}$•$\frac{1}{4}$+…+（-1）^k•${C}_{n}^{k}$•$\frac{1}{1+k}$+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$•$\frac{1}{1+n}$
=$\frac{1}{n+1}$•[${C}_{n+1}^{1}$-${C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n+1}^{3}$-${C}_{n+1}^{4}$+…+（-1）^k•${C}_{n+1}^{k+1}$+…+（-1）ⁿ•${C}_{n+1}^{n+1}$]
=$\frac{1}{n+1}$•[1-（1-1）ⁿ⁺¹]
=$\frac{1}{n+1}$$\sum_{i=1}^{n}$（-1）^k•${C}_{n+1}^{k+1}$
=$\frac{1}{n+1}$，
Q（n，1）=${C}_{n+1}^{1}$=n+1，
∴P（n，1）•Q（n，1）=1；
（2）证明：P（n，m）=$\sum_{k=0}^{n}$（-1）^k•${C}_{n}^{k}$$\frac{m}{m+k}$=1+$\sum_{k=1}^{n-1}$（-1）^k（${C}_{n-1}^{k}$+${C}_{n-1}^{k-1}$）$\frac{m}{m+k}$+（-1）ⁿ$\frac{m}{m+n}$
=[1+$\sum_{k=1}^{n-1}$（-1）^k${C}_{n-1}^{k}$$\frac{m}{m+k}$]+[$\sum_{k=1}^{n-1}$（-1）^k${C}_{n-1}^{k-1}$$\frac{m}{m+k}$+（-1）ⁿ$\frac{m}{m+n}$]
=$\sum_{k=0}^{n-1}$（-1）^k${C}_{n-1}^{k}$$\frac{m}{m+k}$+$\sum_{k=1}^{n}$（-1）^k${C}_{n-1}^{k-1}$$\frac{m}{m+k}$
=P（n-1，m）+$\sum_{k=1}^{n}$（-1）^k$\frac{k}{n}$${C}_{n}^{k}$$\frac{m}{m+k}$
=P（n-1，m）+$\frac{m}{n}$$\sum_{k=1}^{n}$（-1）^k${C}_{n}^{k}$$\frac{k}{m+k}$
=P（n-1，m）+$\frac{m}{n}$[$\sum_{k=1}^{n}$（-1）^k${C}_{n}^{k}$（1-$\frac{m}{m+k}$）]
=P（n-1，m）+$\frac{m}{n}$[$\sum_{k=1}^{n}$（-1）^k${C}_{n}^{k}$-$\sum_{k=1}^{n}$（-1）^k${C}_{n}^{k}$$\frac{m}{m+k}$]
=P（n-1，m）+$\frac{m}{n}$[-1-$\sum_{k=1}^{n}$（-1）^k${C}_{n}^{k}$$\frac{m}{m+k}$]
=P（n-1，m）-$\frac{m}{n}$$\sum_{k=0}^{n}$（-1）^k${C}_{n}^{k}$$\frac{m}{m+k}$
=P（n-1，m）-$\frac{m}{n}$P（n，m）；
即P（n，m）=$\frac{n}{m+n}$P（n-1，m），
由累乘运算易得P（n，m）=$\frac{n!•m!}{（n+m）!}$P（0，m）=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}$
又Q（n，m）=${C}_{n+m}^{n}$，所以P（n，m）•Q（n，m）=1为定值．

点评 本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了递推公式与累乘运算的应用问题，考查了逻辑推理与运算能力，是综合性题目．