Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=λS_n+1（n∈N^*，λ＞0），且a₁，a₂+2，a₃+3成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=（-1）ⁿlog₂a_n•log₂a_n+1，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式结合a₁，a₂+2，a₃+3成等差数列求得λ值，进一步可得数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b_n=（-1）ⁿlog₂a_n•log₂a_n+1，然后利用数列的分组求和得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=λS_n+1，
∴a₂=λa₁+1=1+λ，
由${a}_{3}=λ{S}_{2}+1=λ（{a}_{1}+{a}_{2}）+1=（1+λ）^{2}$，
a₁，a₂+2，a₃+3成等差数列，
得2（a₂+2）=a₁+a₃+3．
∴2（1+λ+2）=1+（1+λ）²+3，解得λ²=1．
由λ＞0，得λ=1，
∴a_n+1=S_n+1，①
n≥2时，a_n=S_n-1+1，②
①-②得：a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，
n≥2时，a_n+1=2a_n，③
又∵a₂=1+λ=2，a₁=1，∴a₂=2a₁，
∴n=1时，③式也成立，
故数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a}_{n}={2}^{n-1}$．
∴${b}_{n}=（-1）^{n}lo{g}_{2}{2}^{n-1}•lo{g}_{2}{2}^{n}=（-1）^{n}n（n-1）=（-1）^{n}（{n}^{2}-n）$，
则${b}_{2n}+{b}_{2n-1}=（2n）^{2}-2n-（2n-1）^{2}+2n-1$=4n-2．
∴T_2n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n-1+b_2n
=2+6+10+…+（4n-2）
=$\frac{n（2+4n-2）}{2}=2{n}^{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比数列通项公式的求法，训练了数列的分组求和，属中档题．