Question

1．已知双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S_△ABF=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=$\sqrt{3}$（x-2），代入y=-$\sqrt{3}$x，解得B的坐标，由三角形的面积公式，计算可得答案．

解答 解：由双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{3}=1$，
可得a²=1，b²=3，故c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，
∴A（1，0），F（2，0），渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，
不妨设BF的方程为y=$\sqrt{3}$（x-2），
代入方程y=-$\sqrt{3}$x，解得：B（1，-$\sqrt{3}$）．
∴S_△AFB=$\frac{1}{2}$|AF|•|y_B|=$\frac{1}{2}$•1•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．