Question

11．已知f（x）=x+alnx（a＞0）对于区间[1，3]内的任意两个相异实数x₁，x₂，恒有$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|＜|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|$成立，则实数a的取值范围是（0，$\frac{8}{3}$）．

Answer 1

分析 问题等价于|1+$\frac{a（l{nx}_{1}-l{nx}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$|＜$\frac{1}{{{|x}_{1}x}_{2}|}$，（1），由x₁，x₂→$\frac{1}{3}$时（1）变为|1+3a|＜9，由x₁，x₂→1时（1）变为|1+a|＜1，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：已知a＞0，f（x）=x+alnx，
对区间[1，3]内的任意两个相异的实数x₁，x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，
∴|x₁-x₂+a（lnx₁-lnx₂）|＜|$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$|，
两边都除以|x₁-x₂|，
∵|1+$\frac{a（l{nx}_{1}-l{nx}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$|＜$\frac{1}{{{|x}_{1}x}_{2}|}$，（1）
（lnx）′=$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{3}$，1]，
∴$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$∈[$\frac{1}{3}$，1]，
x₁，x₂→$\frac{1}{3}$时（1）变为|1+3a|＜9，
解得：-$\frac{10}{3}$＜a＜$\frac{8}{3}$，
x₁，x₂→1时（1）变为|1+a|＜1，
解得：-2＜a＜0，
又∵a＞0，
∴0＜a＜$\frac{8}{3}$，
故答案为（0，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查了求函数闭区间上的最值问题，考查了导数的应用，是一道中档题．