Question

9．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosφ\\ y=-2+tsinφ\end{array}\right.$（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P₁，P₂．
（1）求φ的取值范围；
（2）以φ为参数，求线段P₁P₂中点轨迹的参数方程．

Answer 1

分析 （1）求解曲线C的直角坐标方程，将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=tcosφ\\ y=-2+tsinφ\end{array}\right.$（t为参数，0≤φ＜π），带入，得到关于t的一元二次方程的关系式，由题意判别式大于0，可得φ的取值范围．
（2）利用参数的几何意义即可求线段P₁P₂中点轨迹的参数方程．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=1，根据ρ²=x²+y²可得曲线C的直角坐标方程为x²+y²=1，
将$\left\{\begin{array}{l}x=tcosφ\\ y=-2+tsinφ\end{array}\right.$代入x²+y²=1得t²-4tsinφ+3=0（*）
由16sin²φ-12＞0，得$|{sinφ}|＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又0≤φ≤π，
∴所求φ的取值范围是$（{\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}）$；
（Ⅱ）由（1）中的（*）可知，$\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}=2sinφ$，代入$\left\{\begin{array}{l}x=tcosφ\\ y=-2+tsinφ\end{array}\right.$中，
整理：得P₁P₂的中点的轨迹方程为$\left\{\begin{array}{l}x=sin2φ\\ y=-1-cos2φ\end{array}\right.$（φ为参数，$\frac{π}{3}＜φ＜\frac{2π}{3}$）．
故得线段P₁P₂中点轨迹的参数方程为为$\left\{\begin{array}{l}x=sin2φ\\ y=-1-cos2φ\end{array}\right.$（φ为参数，$\frac{π}{3}＜φ＜\frac{2π}{3}$）．

点评 本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换和参数方程的几何意义的运用．