Question

4．已知元素为实数的集合S满足下列条件：①0∉S，1∉S；②若a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S．
（1）已知2∈S，试求出S中的其它所有元素；
（2）若{3，-3}⊆S，求使元素个数最少的集合S；
（3）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．

Answer 1

分析 （1）由2∈S，能推导出S中的其它所有元素为-1，$\frac{1}{2}$．
（2）3∈S，推导出现-$\frac{1}{2}$∈S，$\frac{2}{3}$∈S，由-3∈S，推导出$\frac{1}{4}$∈S，$\frac{4}{3}$∈S，由此能示出使{3，-3}?S的元素个数最少的集合S．
（3）设a∈S，则{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}?S，若b∈S，而b∉{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}，则{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}{b}$}?S，且{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}∩{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}{b}$}=∅，若b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}{b}$中有元素∈{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}，则{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$，b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}{b}$}?S，由此能证明S的元素个数为3的倍数．

解答 解：（1）∵2∈S，∴$\frac{1}{1-2}$=-1∈S，$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈S，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$∈S．
∴S中的其它所有元素为-1，$\frac{1}{2}$．
（2）3∈S，$\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$∈S，
$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）}=\frac{2}{3}∈S$，$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3∈S，
-3∈S，$\frac{1}{1-（-3）}$=$\frac{1}{4}∈S$，$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}∈S$，
$\frac{1}{1-\frac{4}{3}}$=-3∈S，
∴使{3，-3}?S的元素个数最少的集合S为{-3，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，3}．
（3）设a∈S，则a≠0，1且a∈S，$\frac{1}{1-a}$∈S，$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=$\frac{a-1}{a}$∈S，$\frac{1}{1-\frac{a-1}{a}}$=a∈S（*）
由于a=$\frac{1}{1-a}$，即a²-a+1=0（a≠1），但a²-a+1=0无实数根
故a≠$\frac{1}{1-a}$，同理$\frac{1}{1-a}≠\frac{a-1}{a}$，$\frac{a-1}{a}≠a$，∴{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}?S，
若存在b∈S，而b∉{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}，则{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}{b}$}?S，且{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}∩{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}{b}$}=∅，
若b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}{b}$中有元素∈{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}，
则利用前述的（*）式可知b∈{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}
于是{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$，b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}{b}$}?S，
上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理有限步可中止
∴S的元素个数为3的倍数．

点评 本题考查集合元素的求法，考查集合中元素个数的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意集合中元素性质的合理运用．