Question

15．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点为F（2，0），设A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}=0$，若直线AB的斜率为$\sqrt{3}$，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），满足$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}=0$，再由点A在双曲线上且直线AB的斜率，得到关于x₁、y₁、a、b的方程组，联解消去x₁、y₁得到关于a、b的等式，结合b²+a²=c²解出a=$\sqrt{3}$-1，可得离心率e的值．

解答 解：根据题意，设A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），
∵焦点F（2，0），$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}=0$，
可得$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=（x₁-2）（-x₁-2）-y₁²=0，
即为x₁²+y₁²=4，…①
又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{{y}_{1}=\sqrt{3}{x}_{1}}\end{array}\right.$，…②．
由①②联解消去x₁、y₁，得$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{{b}^{2}}$=1，…③
又∵F（2，0）是双曲线的右焦点，可得b²=c²-a²=4-a²，
∴代入③，化简整理得a⁴-8a²+4=0，解之得a²=4+2$\sqrt{3}$或4-2$\sqrt{3}$，
由于a²＜c²=4，所以a²=4+2$\sqrt{3}$不合题意，舍去．
∴a²=4-2$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$-1）²，
∴a=$\sqrt{3}$-1，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1，
故答案为：$\sqrt{3}$+1

点评 本题给出双曲线满足的条件，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系，是解决本题的关键．