Question

14．已知函数f（x）=|x-1|，不等式f（x+5）≤3m（m＞0）的解集为[-7，-1]
（1）求m的值；
（2）已知a＞0，b＞0，且2a²+b²=3m，求2a$\sqrt{1+{b}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）解绝对值不等式求得它的解集为[-4-3m，3m-4]，再根据它的解集为[-7，-1]，可得$\left\{\begin{array}{l}{-4-3m=-7}\\{3m-4=-1}\end{array}\right.$，从而求得 m的值．
（2）根据2a$\sqrt{1+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$a•$\sqrt{1{+b}^{2}}$，利用基本不等式求得它的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-1|，不等式f（x+5）≤3m（m＞0），即|x+4|≤3m，即-3m≤x+4≤3m，
即-4-3m≤x≤3m-4，即不等式的解集为[-4-3m，3m-4]．
再根据它的解集为[-7，-1]，可得$\left\{\begin{array}{l}{-4-3m=-7}\\{3m-4=-1}\end{array}\right.$，∴m=1．
（2）已知a＞0，b＞0，且2a²+b²=3m=3，∴2a$\sqrt{1+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$a•$\sqrt{1{+b}^{2}}$≤$\sqrt{2}$•$\frac{{2a}^{2}+1{+b}^{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\sqrt{2}$a=$\sqrt{1{+b}^{2}}$ 时，即a=b=1时，等号成立，故2a$\sqrt{1+{b}^{2}}$的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．