Question

13．直线ax+2by+2=0与圆x²+y²=2相切，切点在第一象限内，则$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得a＞0，b＞0 且即$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}+4{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$．故有a²+4b²=2，再利用基本不等式求出$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值．

解答 解：若直线ax+2by+2=0与圆x²+y²=2相切于第一象限，则 a＞0，b＞0 且圆心到直线的距离等于半径，即 $\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}+4{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$．
故有 a²+4b²=2，
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$）（a²+4b²）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$）≥$\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$，
当且仅当a=2b时，等号成立，即 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值为$\frac{9}{2}$，
故答案为$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，基本不等式的应用，属于基础题．