Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，坐标原点O到过点A（0，-b）和B（a，0）的直线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．又直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该椭圆交于不同的两点C，D．且C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）当k=$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，求m的值，以及此时△ACD面积．

Answer 1

分析 （1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得到2a²=3c²，根据三角形面积相等，求得a²•b²=$\frac{3}{4}$（a²+b²），由a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，求得0＜m²＜3，根据韦达定理，利用中点坐标公式，求得P点坐标，由k_AP•k_CD=-1，即可求得m，代入，由弦长公式可知：丨CD丨，求出点A到CD的距离，即可求得△ABC面积．

解答 解：（1）$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，即2a²=3c²，
由题意可知：由△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}•\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得：a²•b²=$\frac{3}{4}$（a²+b²），
a²=b²+c²，
解得：a²=3，b²=1，c²=1，
∴椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1------------------（4分）
（2）椭圆与直线联立，消去y得3x²+2$\sqrt{6}$mx+3m²-3=0，△=24m²-12（3m²-3）＞0------------（6分）
∴0＜m²＜3-----①-------（7分）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．CD的中点为P（x₀，y₀），
∴由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{6}m}{3}$，x₁•x₂=m²-1，-----②
∴P（-$\frac{\sqrt{6}m}{3}$，$\frac{m}{3}$）
依题意，可知AP⊥CD，
∴k_AP•k_CD=-1，代入坐标，得：m=$\frac{3}{2}$，满足①，-----（8分）
由②得x₁+x₂=-$\sqrt{6}$，x₁•x₂=$\frac{5}{4}$
∴根据弦长公式可知：丨CD丨=$\sqrt{1+\frac{2}{3}}$•丨x₁-x₂丨=$\frac{\sqrt{15}}{3}$-----------------（10分）
点A到CD的距离d=|AP|=$\frac{\sqrt{15}}{2}$----------------（11分）
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•d•丨CD|=$\frac{5}{4}$------------------（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，点到直线的距离公式，韦达定理，中点坐标及三角形面积公式的综合应用，考查计算能力，综合性强，属于中档题．