Question

17．已知函数f（x）∈{sinx，|log₂x|，log₂|x|，${x^{\frac{1}{2}}}}$}，且f（x）为偶函数．
（Ⅰ）写出满足条件的函数f（x）的解析式（不用说明理由）；
（Ⅱ）设函数g（x）=m•2^f（x）+x²（m∈R）；
①若函数g（x）在区间（-∞，-2）上是减函数，求实数m的取值范围；
②当m＞$\frac{1}{4}$时，判断g（x）＞$\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上是否恒成立，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由基本初等函数的性质可得f（x）=log₂|x|为偶函数；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，$g（x）=m•{2^{{{log}_2}|x|}}+{x^2}={x^2}+m•|x|$，取绝对值，利用二次函数的对称轴$\frac{m}{2}≥-2$求实数m的取值范围；
②由$g（x）＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$，可得x²+m|x|$＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$．去绝对值得x²+mx$＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$，即4x³+（4m-1）x²-4＞0．由m＞$\frac{1}{4}$，可得函数F（x）=4x³+（4m-1）x²-4（1≤x≤2）为增函数，从而得到当$m＞\frac{1}{4}$时，$g（x）＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立．

解答 解：（Ⅰ）由题意，f（x）=log₂|x|，…（3分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，$g（x）=m•{2^{{{log}_2}|x|}}+{x^2}={x^2}+m•|x|$，
当x∈（-∞，-2），此时g（x）=x²-mx．
若函数g（x）在区间（-∞，-2）上是减函数，则$\frac{m}{2}≥-2$，∴m≥-4；…（6分）
②由$g（x）＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$，可得x²+m|x|$＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$．
若x∈[1，2]，则x²+mx$＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$，
整理得，4x³+（4m-1）x²-4＞0．…（8分）
因此问题转化为：
当$m＞\frac{1}{4}$时，4x³+（4m-1）x²-4＞0在x∈[1，2]上是否恒成立．…（9分）
令F（x）=4x³+（4m-1）x²-4（1≤x≤2），
当$m＞\frac{1}{4}$时，则4m-1＞0，可判断出函数F（x）在x∈[1，2]单调递增．
∴F（x）≥F（1）=4m-1＞0．
因此，当$m＞\frac{1}{4}$时，4x³+（4m-1）x²-4＞0在x∈[1，2]上恒成立．
∴当$m＞\frac{1}{4}$时，$g（x）＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立．…（12分）

点评 本题考查函数恒成立问题，考查对数函数的性质，考查数学转化思想方法，属中档题．