Question

【题目】已知函数，函数.

（1）讨论函数的极值；

（2）已知函数，若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）对求导，分和两种情况，分别讨论的正负性，可得到的单调性，进而可求得极值；

（2）易知有且仅有一个零点，且时，从而可知有两个零点，结合（1）知不符合题意，时，讨论的极值，并结合零点存在性定理可求出答案.

（1）的定义域为，，

当时，在恒成立，∴在单调递减，故无极值，

当时，由得.

当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，

∴在处取得极小值，，无极大值.

综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.

（2）若是的零点，则必有或，∴的零点必为或的零点，

而有且仅有一个零点，且，时.

①当时，由（1）知在单调递减，至多只有一个零点，此时至多只有两个零点，不合题意，舍去；

②当时，由（1）知在单调递减，在单调递增，则.

i）当即时，至多只有一个零点，此时至多只有两个零点，不合题意，舍去；

ii）当即时，，，

由零点存在性定理知使得.

令，，则在单调递增，在单调递减，

∴，∴，，

当时，，

∴，又，

∴由零点存在性定理知使得，

∴，；，；，，

∴当时，有三个零点，满足题意.

综上，实数的取值范围为.