【题目】如果存在常数
，使得数列
满足：若
是数列中的一项，则
也是数列 中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.
（1）若数列：
是“兑换系数”为的“兑换数列”，求
和的值；
（2）已知有穷等差数列
的项数是
，所有项之和是
，求证：数列是“兑换数列”，并用和表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列
，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由.
【答案】（1）a=6,m=5；（2）见解析；（3）
【解析】
本试题主要考查了数列的运用。
解：（1）因为数列：1,2,4(m>4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”
所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项，且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分
故a-m=1,a-4=2-------------------3分
即a=6,m=5 -------------------4分
（2）设数列
的公差为d，因为数列是项数为
项的有穷等差数列
若
即对数列中的任意一项
-------------------6分
同理可得：若
，也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”；-------------------8分
又因为数列所有项之和是B，所以
，即------10分
（3）假设存在这样的等比数列
，设它的公比为q,(q>1)，
因为数列为递增数列，所以
又因为数列为“兑换数列”，则
，所以
是正整数
故数列必为有穷数列，不妨设项数为n项，------------------12分
则
----------14分
① n=3则有
，又
，由此得q=1，与q>1矛盾；-------------------15分
②若
。由
，
即(
)，故q=1，与q>1矛盾；-------------------17分
综合①②得，不存在满足条件的数列。-------------------18分
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知正方形的边长为
分别为
的中点，以
为棱将正方形
折成如图所示的
的二面角，点
在线段
上．
（1）若为的中点，且直线
，由
三点所确定平面的交点为
，试确定点的位置，并证明直线
平面
；
（2）是否存在点，使得直线
与平面所成的角为；若存在，求此时二面角
的余弦值，若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知直线
与圆心为坐标原点的圆
相切．
（1）求圆的方程;
（2）过点
的直线与圆交于
两点,若弦长
,求直线
的斜率的值;
（3）过点
作两条相异直线分别与圆相交于
,且直线
和直线
的倾斜角互补,试着判断向量
和
是否共线?请说明理由．
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