【题目】已知函数,
(
,
).
(1)当时,求函数
的极小值点;
(2)当时,若
对一切
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题(1)当时,
,则
.
讨论,
两种情况,研究单调性得极小值(2) (2)当
时,
可化为
,即
,令
,则
.当
时,对于一切
,有
,
,
所以恒成立.当
时,符合题意;当
时,存在
,使得
,在
上
单调递减,从而有:
时,
,不符合题意,即得
的取值范围
试题解析:
(1)当时,
,则
.
当时,
,所以
在
上单调递增,故
无极值点;
当时,由
,得
,
当时,
,所以
在
上单调递减;
当时,
,所以
在
上单调递增.
所以的极小值点为
.
(2)当时,
可化为
,即
,
令,则
.
当时,对于一切
,有
,
,
所以恒成立.
下面考虑时的情况.
当时,对于一切
,有
,
,所以
恒成立,
所以在
上是增函数,所以
,符合题意;
当时,
,
,由零点存在性定理可知,一定存在
,使得
,且当
时,
,所以在
上
单调递减,从而有:
时,
,不符合题意.
综上可知,的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如表:
(1)用分层抽样的方法在岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为
的样本,将该样本看成一个总体,从中任取
人,求至少有
人的学历为研究生的概率;
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取个人,其中
岁以下
人,
岁以上
人,再从这
个人中随机抽取出
人,此人的年龄为
岁以上的概率为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校为了教职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为的宿舍楼(每层的建筑面积相同).已知土地的征用费为
元
,土地的征用面积为第一层的
倍,经工程技术人员核算,第一层的建筑费用相同都为400元
,以后每增高一层,其建筑费用就增加50元
.试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最少,并求出其最少费用.(总费用为建筑费用和征地费用之和).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆C:x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆C与抛物线E的准线交于M、N两点,△MNF的面积为p,其中F是E的焦点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)不过原点O的动直线l交该抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB,设点Q为圆C上任意一动点,求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种子公司对一种新品种的种子的发芽多少与昼夜温差之间的关系进行分析研究,以便选择最合适的种植条件.他们分别记录了10块试验地每天的昼夜温差和每块实验地里50颗种子的发芽数,得到如下资料:
(1)从上述十组试验数据来看,是否可以判断昼夜温差与发芽数之间具有相关关系?是否具有线性相关关系?
(2)若在一定温度范围内,昼夜温差与发芽数近似满足相关关系:(其中
).取后五组数据,利用最小二乘法求出线性回归方程
(精确到0.01);
(3)利用(2)的结论,若发芽数试验值与预测值差的绝对值不超过3个就认为正常,否则认为不正常.从上述十组试验中任取三组,至少有两组正常的概率是多少?
附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
,
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某厂家拟在新年举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量
万件满足
(其中
,
为正常数).现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品
万件还需投入成本
万元(不含促销费用),产品的销售价格定为
万元/万件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用
万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如果存在常数,使得数列
满足:若
是数列
中的一项,则
也是数列
中的一项,称数列
为“兑换数列”,常数
是它的“兑换系数”.
(1)若数列:是“兑换系数”为
的“兑换数列”,求
和
的值;
(2)已知有穷等差数列的项数是
,所有项之和是
,求证:数列
是“兑换数列”,并用
和
表示它的“兑换系数”;
(3)对于一个不小于3项,且各项皆为正整数的递增数列,是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论,并说明理由.
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