【题目】已知正方形的边长为分别为
的中点,以
为棱将正方形
折成如图所示的
的二面角,点
在线段
上.
(1)若为
的中点,且直线
,由
三点所确定平面的交点为
,试确定点
的位置,并证明直线
平面
;
(2)是否存在点,使得直线
与平面
所成的角为
;若存在,求此时二面角
的余弦值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)利用中位线不难得到的位置,连接
交
于
,则
,证得线面平行;
(2)取中点
,以
为原点建立空间坐标系,设
,利用线面所成角去列方程,解得
值,然后确定二面角
的两个面的法向量,利用公式求解即可.
(1)因为直线平面
,
故点在平面
内也在平面
内,
所以点在平面
与平面
的交线上(如图所示)
因为,
为
的中点,所以
,
所以,
,所以点
在
的延长线上,且
连结交
于
,因为四边形
为矩形,所以
是
的中点
连结,因为
为
的中位线,所以
,
又因为平面
,所以直线
平面
.
(2)由已知可得,,
,所以
平面
,
所以平面平面
,取
的中点
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,
,
,
,
所以,
,
设,则
,
设平面的法向量
,则
,
取,则
,
,所以
,
与平面
所成的角为
,所以
,
所以,所以
,解得
或
,
所以存在点,使得直线
与平面
所成的角为
,
取的中点
,则
为平面
的法向量,因为
,
所以,
,
设二面角的大小为
,
所以,
因为当时,
,平面
平面
,
所以当时,
为钝角,所以
.
当时,
为锐角,所以
.
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【题目】某种子公司对一种新品种的种子的发芽多少与昼夜温差之间的关系进行分析研究,以便选择最合适的种植条件.他们分别记录了10块试验地每天的昼夜温差和每块实验地里50颗种子的发芽数,得到如下资料:
(1)从上述十组试验数据来看,是否可以判断昼夜温差与发芽数之间具有相关关系?是否具有线性相关关系?
(2)若在一定温度范围内,昼夜温差与发芽数近似满足相关关系:(其中
).取后五组数据,利用最小二乘法求出线性回归方程
(精确到0.01);
(3)利用(2)的结论,若发芽数试验值与预测值差的绝对值不超过3个就认为正常,否则认为不正常.从上述十组试验中任取三组,至少有两组正常的概率是多少?
附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
,
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【题目】如果存在常数,使得数列
满足:若
是数列
中的一项,则
也是数列
中的一项,称数列
为“兑换数列”,常数
是它的“兑换系数”.
(1)若数列:是“兑换系数”为
的“兑换数列”,求
和
的值;
(2)已知有穷等差数列的项数是
,所有项之和是
,求证:数列
是“兑换数列”,并用
和
表示它的“兑换系数”;
(3)对于一个不小于3项,且各项皆为正整数的递增数列,是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论,并说明理由.
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【题目】如图,某城市有一块半径为(单位:百米)的圆形景观,圆心为
,有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处
图中阴影部分
只有一块绿化地,后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路,便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议,决定在绿化地中增建一条与圆
相切的小道
问:
两点应选在何处可使得小道
最短?
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【题目】如图,已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上的一点.
(1)求证:平面EBD⊥平面SAC;
(2)设SA=4,AB=2,求点A到平面SBD的距离;
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【题目】在四棱锥PABCD中,AD∥BC,平面PAC⊥平面ABCD,AB=AD=DC=1,
∠ABC=∠DCB=60,E是PC上一点.
(Ⅰ)证明:平面EAB⊥平面PAC;
(Ⅱ)若△PAC是正三角形,且E是PC中点,求三棱锥AEBC的体积.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,短轴长为
.
(1)求的方程;
(2)如图,经过椭圆左顶点且斜率为
的直线
与
交于
两点,交
轴于点
,点
为线段
的中点,若点
关于
轴的对称点为
,过点
作
(
为坐标原点)垂直的直线交直线
于点
,且
面积为
,求
的值.
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