Question

4．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N^*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，$f（x）=1+{log_{\frac{1}{3}}}x$，求$f（2\sqrt{3}）$的值；
（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，$f（x）=\sqrt{3x-{x^2}}$，求证：函数$y=f（x）-\sqrt{2}x$在（1，+∞）上无零点；
（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N^*）上的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当x∈（1，2]时，$f（x）=1+{log_{\frac{1}{3}}}x$，从而f（$\sqrt{3}$）=$\frac{1}{2}$，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出$f（2\sqrt{3}）$的值．
（Ⅱ）当x∈（1，3]时，$f（x）=\sqrt{3x-{x^2}}$，由此推导出函数$y=f（x）-\sqrt{2}x$在（1，+∞）上无零点．
（Ⅲ）当x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]时，$f（x）={k^n}f（\frac{x}{k^n}）$，由此得到$f（\frac{x}{k^n}）∈[0，1）$，当x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]时，f（x）∈[0，kⁿ），由此能求出f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N^*）上的取值范围是[0，kⁿ）．

解答 解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，$f（x）=1+{log_{\frac{1}{3}}}x$，
∴$f（\sqrt{3}）=1+lo{g_{\frac{1}{3}}}\sqrt{3}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$．
∵函数f（x）为二阶伸缩函数，
∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．
∴$f（2\sqrt{3}）=2f（\sqrt{3}）=1$．（4分）
（Ⅱ）当x∈（3^m，3^m+1]（m∈N^*）时，$\frac{x}{3^m}∈（1，3]$．
由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．
∵x∈（1，3]时，$f（x）=\sqrt{3x-{x^2}}$．
∴$f（x）=3f（\frac{x}{3}）={3^2}f（\frac{x}{3^2}）=…={3^m}f（\frac{x}{3^m}）={3^m}\sqrt{3•（\frac{x}{3^m}）-{{（\frac{x}{3^m}）}^2}}=\sqrt{{3^{m+1}}•x-{x^2}}$．
令$f（x）-\sqrt{2}x=0$，解得x=0或x=3^m，它们均不在（3^m，3^m+1]内．（7分）
∴函数$y=f（x）-\sqrt{2}x$在（1，+∞）上无零点． （8分）
（Ⅲ） 由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），
且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．
∴当x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]时，$f（x）={k^n}f（\frac{x}{k^n}）$．
∵$\frac{x}{k^n}∈（1，k]$，所以$f（\frac{x}{k^n}）∈[0，1）$．
∴当x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]时，f（x）∈[0，kⁿ）．
当x∈（0，1]时，即0＜x≤1，
则?k（k≥2，k∈N^*）使$0＜\frac{1}{k}＜x≤1$，
∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．
又$f（x）=\frac{1}{k}f（kx）$，∴$f（x）=\frac{1}{k}f（kx）∈[0，\frac{1}{k}）$，即$f（x）∈[0，\frac{1}{k}）$．
∵k≥2，
∴f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N^*）上的取值范围是[0，kⁿ）． （12分）

点评 本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．