Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a_n+1=2S_n+2ⁿ，则数列{a_n}的通项公式a_n=2×3^n-1-2^n-1．

Answer 1

分析 由数列递推式可得n≥2时有a_n=2S_n-1+2^n-1，与原递推式联立可得${a}_{n+1}+{2}^{n}=3（{a}_{n}+{2}^{n-1}）$（n≥2），说明从第二项起，数列{${a}_{n}+{2}^{n-1}$}公差等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：当n≥2时，由a_n+1=2S_n+2ⁿ，①
得a_n=2S_n-1+2^n-1，②
两式作差可得：${a}_{n+1}-{a}_{n}=2（{S}_{n}-{S}_{n-1}）+{2}^{n}-{2}^{n-1}=2{a}_{n}+{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n+1}+{2}^{n}=3（{a}_{n}+{2}^{n-1}）$（n≥2），
又a₂=2a₁+2=4，∴a₂+2=6，
∴当n≥2时，${a}_{n}+{2}^{n-1}=6×{3}^{n-2}$，
则${a}_{n}=2×{3}^{n-1}-{2}^{n-1}$，
又2×3^1-1-2^1-1=1=a₁，
∴${a}_{n}=2×{3}^{n-1}-{2}^{n-1}$．
故答案为：2×3^n-1-2^n-1．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．