Question

12．不等式|x+1|-|x-2|≥a²-4a的解集为R，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]∪[3，+∞）
• B． （-∞，1）∪（3，+∞）
• C． [1，3]
• D． （1，3）

Answer 1

分析 令f（x）=|x+1|-|x-2|，通过对x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得f（x）_min=-3，依题意，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：令f（x）=|x+1|-|x-2|，
当x＜-1时，f（x）=-1-x-（-x+2）=-3；
当-1≤x≤2时，f（x）=1+x-（-x+2）=2x-1∈[-3，3]；
当x＞2时，f（x）=x+1-（x-2）=3；
∴f（x）_min=-3．
∵不等式|x+1|-|x-2|≥a²-4a的解集为R，
∴a²-4a≤f（x）_min=-3，即实数a的取值范围是[1，3]．
故选C．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，通过构造函数，对x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，求得f（x）_min=-3是关键，属于中档题．