Question

17．若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．联立$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+b{y}^{2}=1}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，得（a+b）x²-2bx+b-1=0．由韦达定理得M（$\frac{b}{a+b}$，$\frac{a}{a+b}$）．由k_OM=2，得a=2b，由OA⊥OB，得a+b=2．由此能求出a，b．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+b{y}^{2}=1}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，得（a+b）x²-2bx+b-1=0．
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{b}{a+b}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{a}{a+b}$．
∴M（$\frac{b}{a+b}$，$\frac{a}{a+b}$）．
∵k_OM=2，∴a=2b．①
∵OA⊥OB，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-1．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵x₁x₂=$\frac{b-1}{a+b}$，y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂），
∴y₁y₂=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-$\frac{2b}{a+b}$+$\frac{b-1}{a+b}$=$\frac{a-1}{a+b}$．
∴$\frac{b-1}{a+b}+\frac{a-1}{a+b}$=0．
∴a+b=2．②
由①②得a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、直线垂直、韦达定理、中点坐标公式等知识点的灵活运用运用．