Question

3．设等差数列{a_n}的公差为d，且2a₁=d，2a_n=a_2n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差为d，2a_n=a_2n-1．
取n=1，则2a₁=a₂-1=a₁+d-1，与2a₁=d联立，解得d=2，a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2n-1+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．