Question

13．已知曲线C₁的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C₁所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C₂．
（Ⅰ）求曲线C₂的参数方程；
（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为$\frac{π}{4}$，与曲线C₂交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出曲线C₂方程，再求出参数方程；
（Ⅱ）将直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，化简整理，运用韦达定理，即可得到所求|MA|•|MB|的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，曲线C₁的极坐标方程是ρ=1，直角坐标方程为x²+y²=1，
曲线C₂方程为$\frac{1}{9}$x²+y²=1，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入圆的直角坐标方程$\frac{1}{9}$x²+y²=1，
化简得5t²+$\sqrt{2}$t-8=0，
即有t₁t₂=-$\frac{8}{5}$，
可得|MA|•|MB|=|t₁t₂|=$\frac{8}{5}$．

点评 本题主要考查参数方程和普通方程的关系，同时考查直线参数方程的运用，考查运算能力，属于中档题．