Question

4．已知△ABC中，a+b=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，A=60°，B=45°，则△ABC的面积为$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理可得$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得：a=$\frac{\sqrt{6}b}{2}$，结合已知a+b=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，可解得a，b的值，利用三角形面积公式及三角形内角和定理即可得解．

解答 解：∵A=60°，B=45°，解得：C=180°-A-B=75°，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得：a=$\frac{\sqrt{6}b}{2}$，
∵a+b=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}b}{2}$+b=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，解得：b=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}+1}$=$\sqrt{2}$，解得：a=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×$sin75°=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式，两角和的正弦函数公式的应用，熟练掌握相关定理及公式是解题的关键，属于中档题．