Question

14．对于定义在R上的函数f（x），有下述三个命题；
①若y=f（x）是奇函数，则y=f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若函数y=f（x+1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
③如果函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=f（3-x），那么该函数以4为周期．
其中正确命题的序号为①③．

Answer 1

分析 对于①，奇函数f（x）的对称中心是（0，0），向右平移一个单位后得f（x-1），对称中心必然平移一个单位．
对于②，这是两个函数的对称轴之间的关系，由x+2=2-x，得x=0是对称轴．
对于③，根据周期的定义可以证明是正确结论．

解答 解：对于①，若f（x）为奇函数，则（0，0）是函数f（x）的对称中心，将函数向右平移一个单位得f（x-1），对称中心也向右平移一个单位，故f（x-1）关于（1，0）中心对称．故结论正确．
对于②，结论是不正确的．将函数f（x）向左平移1个单位得f（x+1），将f（-x）向右平移1个单位得f（1-x），因为f（x）与f（-x）关于y轴对称，所以f（x+1）与f（1-x）也是关于y轴对称；
对于③，结论正确．∵f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=f（3-x），∴f（x+4）=f[（x+1）+3]=f[3-（x+1）]
=f（2-x）=f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]=f（x），∴T=4．
故答案为：①③．

点评 本题考查了抽象函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．