Question

8．如图，点P是边长为1的正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥CD，PA=1，PD=$\sqrt{2}$，E为PD上一点，PE=2ED．
（1）求证：PA⊥平面ABCD．
（2）在线段PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC，若存在，指出F点位置，并说明，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PA⊥AD，再结合PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，可得PA⊥平面ABCD；
（2）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．分别给出点A、B、C、P、E的坐标，从而得出$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），利用向量数量积为零的方法，列方程组可算出平面AEC的一个法向量．假设侧棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC，则$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=0，解之得存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．

解答 （1）证明：∵PA=AD=1，PD=$\sqrt{2}$，
∴PA²+AD²=PD²，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形
∴PA⊥AD
又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，
∴PA⊥平面ABCD；
（2）解：以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），根据数量积为零，可得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$
令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，-2 ）
假设侧棱PC上存在一点F，且$\overrightarrow{CF}$=λ$\overrightarrow{CP}$，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC，则$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=0．
又∵$\overrightarrow{BF}$=（0，1，0）+（-λ，-λ，λ）=（-λ，1-λ，λ），
∴$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=λ+1-λ-2λ=0，∴λ=$\frac{1}{2}$，
所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．

点评 本题给出一个特殊的棱锥，着重考查了直线与平面平行的判定与性质和直线与平面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．