Question

已知函数，其中m，a均为实数．
（1）求的极值；
（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

(1)极大值为1，无极小值；(2)3-；(3)．

试题分析：(1)求的极值，就是先求出，解方程，此方程的解把函数的定义域分成若干个区间，我们再确定在每个区间里的符号，从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式恒成立的转化，由（1）可确定在上是增函数，同样的方法（导数法）可确定函数在上也是增函数，不妨设，这样题设绝对值不等式可变为
，整理为，由此函数在区间上为减函数，则在（3，4）上恒成立，要求的取值范围．采取分离参数法得恒成立，于是问题转化为求在上的最大值；（3）由于的任意性，我们可先求出在上的值域，题设“在区间上总存在，使得
成立”，转化为函数在区间上不是单调函数，极值点为（），其次，极小值，最后还要证明在上，存在，使，由此可求出的范围.
试题解析：（1），令，得x=1．       1分
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
	+	0	-
g(x)	↗	极大值	↘

 
∵g(1)=1，∴y=的极大值为1，无极小值．       3分
（2）当时，，．
∵在恒成立，∴在上为增函数．       4分
设，∵>0在恒成立，
∴在上为增函数．       5分
设，则等价于，
即．
设，则u(x)在为减函数．
∴在（3，4）上恒成立．       6分
∴恒成立．
设，∵=，xÎ[3，4]，
∴，∴<0，为减函数．
∴在[3，4]上的最大值为v(3)=3-．       8分
∴a≥3-，∴的最小值为3-．       9分
（3）由（1）知在上的值域为．       10分
∵，，
当时，在为减函数，不合题意．       11分
当时，，由题意知在不单调，
所以，即．①       12分
此时在上递减，在上递增，
∴，即，解得．②
由①②，得．       13分
∵，∴成立．       14分
下证存在，使得≥1．
取，先证，即证．③
设，则在时恒成立．
∴在时为增函数．∴，∴③成立．
再证≥1．
∵，∴时，命题成立．
综上所述，的取值范围为．       16分