Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=log₂（x+1）．
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）若f（a-2）-f（5-a）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接根据函数的解析式求得f（0）的值，再根据函数的奇偶性，可得f（-1）=f（1），再根据根据函数的解析式求得f（1）的值．
（2）设x＜0，则-x＞0，可得 f（-x）=log₂（-x+1），再根据f（x）是定义在R上的偶函数，求得f（x）的解析式．综合可得结论．
（3）由题意可得，函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数．故由所给的不等式可得|a-2|＜|5-a|，平方后化简求得a的范围．

解答： 解：（1）由题意可得f（0）=log₂（0+1）=0，f（-1）=f（1）=log₂（1+1）=1．
（2）设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=log₂（-x+1）．
再根据f（x）是定义在R上的偶函数，可得 f（x）=log₂（-x+1）．
综上可得，f（x）=

log2(x+1)，x≥0 log2(-x+1)，x＜0

．
（3）由题意可得，函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数．
∵f（a-2）-f（5-a）＜0，即 f（a-2）＜f（5-a），∴|a-2|＜|5-a|，平方后化简求得a＜

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2

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点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，函数的奇偶性和单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．