Question

设函数f（x）=|x²-4x-5|，g（x）=k．
（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）若函数f（x）与g（x）有3个交点，求k的值；
（3）试分析函数φ（x）=|x²-4x-5|-k的零点个数．

Answer 1

考点：函数图象的作法,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据分段函数的性质即可作出函数f（x）在区间[-2，6]上的图象；
（2）利用数形结合结合二次函数的性质即可求k的值；
（3）将函数φ（x）=|x²-4x-5|-k的零点个数转化为方程|x²-4x-5|=k的个数，利用数形结合即可得到结论．．

解答： 解：（1）f（x）=|（x+1）（x-5）|=

x2-4x-5， x≥5或x≤-1 -x2+4x+5， -1＜x＜5

，
则对应的图象为：
（2）当-1＜x＜5，f（x）=|x²-4x-5|=-（x²-4x-5）=-（x-2）²+9≤9，
∴要使函数f（x）与g（x）有3个交点，
则k=9．
（3）由φ（x）=|x²-4x-5|-k=0，得|x²-4x-5|=k，
若k=0或k＞9时，函数φ（x）两个零点，
若k=9，函数φ（x）有三个零点，
若0＜k＜9，函数φ（x）有四个零点．

点评：本题主要考查分段函数的图象作法以及函数零点个数的判断，结合一元二次函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．