Question

已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，现设向量

m

=（2sin

A

2

，

3

），向量

n

=（cosA，2cos²

A

4

-1），且

m

与

n

共线．
（1）求（

m

+

n

）•

n

的值；
（2）若a=

7

，且△ABC的面积为

3 3

2

，求b+c的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量共线的条件，及二倍角公式，化简得到A=

π

3

，化简向量m，n，再由数量积的坐标表示，即可得到答案；
（2）运用三角形的面积公式，求出bc=6，再由余弦定理，求出b+c的值．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（2sin

A

2

，

3

），向量

n

=（cosA，2cos²

A

4

-1），且

m

与

n

共线．
∴

3

cosA=2sin

A

2

(2cos2

A

4

-1)
∴

3

cosA=2sin

A

2

cos

A

2

，
∴

3

cosA=sinA，
∴tanA=

3

又A∈（0，π）
∴A=

π

3

∴向量

m

=（1，

3

），向量

n

=（

1

2

，

3

2

），
∴（

m

+

n

）•

n

=

m

•

n

+

n

2=

1

2

+

3

×

3

2

+1=3．
（2）∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

π

3

=

3

2

3

，
∴bc=6
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos

π

3

，
∵a=

7

，
∴（b+c）²=7+3bc=25，
∴b+c=5．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，及向量共线的条件，考查二倍角公式及同角三角函数的关系式，同时考查余弦定理及三角形面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．