Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，证明：当y＞x≥1时，F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：当y＞x≥1时，要证F（x，y）＞F（y，x），只要证

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

．令函数t（x）=

ln(1+x)

x

，利用导数的符号可得函数t（x）在[1，+∞）上为减函数，可得t（x）＞t（y），即

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

成立，命题得证．

解答： 解：由题意可得当y＞x≥1时，F（x，y）=（1+x）^y ＞1，F（y，x）=（1+y）^x ＞1，
当y＞x≥1时，∵lnF（x，y）=ln（1+x）^y =yln（1+x）＞0，lnF（y，x）=ln（1+y）^x =xln（1+y）＞0，
故要证F（x，y）＞F（y，x），只要证yln（1+x）＞xln（1+y），即

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

．
令函数t（x）=

ln(1+x)

x

，∵t′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x2

 在[1，+∞）上小于零，故函数t在[1，+∞）上为减函数，
故有t（x）＞t（y），故

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

成立，故原不等式成立．

点评：本题主要考查用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于基础题．