Question

已知圆C的方程：x²+y²-2x-4y+m=0，其中m＜5．
（1）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=

4 5

5

，求m的值；
（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为

5

5

，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）圆的方程化为（x-1）²+（y-2）²=5-m，圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离为

1

5

，由此解得m=4．
（2）假设存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为

5

5

，由于圆心 C（1，2），半径r=1，由此利用圆心C（1，2）到直线l：x-2y+c=0的距离，能求出c的范围．

解答： 解：（1）圆的方程化为（x-1）²+（y-2）²=5-m，
圆心 C（1，2），半径 r=

5-m

，
则圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离为：
d=

|1+2×2-4|

12+22

=

1

5

…（3分）
由于|MN|=

4

5

，则

1

2

|MN|=

2

5

，
有r2=d2+(

1

2

|MN|)2，
∴5-m=(

1

5

)2+(

2

5

)2，解得m=4．…（6分）
（2）假设存在直线l：x-2y+c=0，
使得圆上有四点到直线l的距离为

5

5

，…（7分）
由于圆心 C（1，2），半径r=1，
则圆心C（1，2）到直线l：x-2y+c=0的距离为：
d=

|1-2×2+c|

12+22

=

|c-3|

5

＜|1-

1

5

|，…（10分）
解得4-

5

＜c＜2+

5

．…（13分）

点评：本题考查实数值和实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．