Question

函数y=x|x（x-3）|+1（　　）

• A、极大值为f（2）=5，极小值为f（0）=1
• B、极大值为f（2）=5，极小值为f（3）=1
• C、极大值为f（2）=5，极小值为f（0）=f（3）=1
• D、极大值为f（2）=5，极小值为f（3）=1，f（-1）=-3

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：x≥3或x≤0时，y'=3x（x-2）=0，得：x=0，或x=2（舍）；0＜x＜3时，y'=-3x（x-2）=0，得：x=0（舍）或x=2．由此能求出函数有极大值y（2）=5，极小值y（3）=1．

解答： 解：x≥3或x≤0时，
y=x²（x-3）+1=x³-3x²+1，
y'=3x（x-2）=0，得：x=0，或x=2（舍）；
0＜x＜3时，y=-x²（x-3）+1=-x³+3x²+1，
y'=-3x（x-2）=0，得：x=0（舍）或x=2．
x=2时，为极大值，y（2）=5
在区间拐点，x=0时，y'（0_-）＞0，y'（0₊）＞0，因此x=0不为极值点
在区间拐点，x=3时，y'（3_-）＜0，y'（3₊）＞0，因此y（3）=1为极小值
所以函数有极大值y（2）=5，极小值y（3）=1．
故选：B．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．